Le pari de la géométrie dynamique pour changer notre manière d’enseigner

les notions de périmètre, aire et volume au collège

(illustrations avec les environnements Cabri)

 

 

 

Myriam Bouloc Rossato

Collège Anatole France

AEFE

Casablanca (Maroc)

 

Jean-Jacques Dahan

IREM de Toulouse

Université Paul Sabatier

Toulouse France

 

 

Avertissement :

Ce document contient des liens vers des figures animables en ligne sous Internet Explorer. Ces animations sont possibles si vous avez installé les plug-ins de Cabri 2 Plus et Cabri 3D téléchargeables gratuitement depuis le site www.cabri.com. Ne pas oublier d’autoriser les contenus bloqués (en haut à droite de votre écran à l’ouverture de ce document).

Ce document contient aussi des liens vers des vidéos postées sur Youtube qui expliquent la scénarisation des figures. Ces vidéos en plein écran (F11) peuvent être utilisées par le Professeur pour animer un cours à partir d’un vidéoprojecteur.

 

 

A la suite de leur participation commune au colloque INRP-ADIREM qui s’est tenu à l’IREM de Poitiers (Juin 2004), Myriam Bouloc-Rossato (alors formatrice associée de l’IUFM de Rodez PE) et Jean-Jacques Dahan (alors formateur associé de l’IUFM de Toulouse PLP2), responsable du groupe de géométrie dynamique de l’IREM de Toulouse, ont entamé une collaboration autour de l’utilisation de l’environnement de géométrie dynamique Cabri (en dimensions 2 et 3) en classe et plus particulièrement au collège.

Cette coopération a été officialisée par la signature d’une convention de coopération entre le collège où enseigne actuellement Myriam Bouloc-Rossato et où elle est coordonnatrice (collège Anatole France de Casablanca qui dépend de l’AEFE) et l’IREM de Toulouse. Un des objectifs de cette convention signée en Octobre 2009 et renouvelée en Octobre 2010 était de mettre au point des scénarios d’utilisation de logiciels de géométrie dynamique (en particulier Cabri) pour les classes du collège : les expertises de Myriam Bouloc-Rossato et de Jean-Jacques Dahan devant mener à la création de ressources pertinentes aussi bien pour une utilisation en salle d’informatique qu’en classe entière  et le format de ces ressources devant permettre au plus grand nombre d’enseignants de se les approprier sans effort.

Une partie de ce travail a donné lieu à des présentations aux journées de l’APMEP de La Rochelle et celles de Rouen intitulées respectivement « Proposition d’un format pour des activités de découverte utilisant la géométrie dynamique en collège. Exemples testés en classe. » et « Explorer les solides du collège avec Cabri 3D et Cabri 3D online »

La présentation qui suit est le fruit du travail fait autour de l’aide technologique apportée à l’enseignement des notions de périmètre , d’aire et de volume  au collège: la technologie choisie étant la technologie Cabri au travers des environnements Cabri 2 plus et Cabri 3D.

 

1. PÉRIMÈTRE

1.1. Périmètre du triangle

1.1.1. Le questionnement initial

Le professeur désirait faire comprendre à ses élèves qu’un périmètre ne se réduisait pas à une formule apprise par cœur mais avait un sens géométrique : la longueur d’un segment. Sa demande à l’expert était de créer des figures dynamiques montrant cette approche.

1.1.2 Le traitement du problème

L’expert a donc réalisé des figures dynamiques Cabri répondant à cette demande : dans une telle figure, le triangle donné peut se déplier jusqu’à une position qui est un segment dont la longueur est le périmètre. Trois constructions différentes donnant lieu à trois dépliages différents sont enregistrées sous forme de macros pour devenir des outils directement utilisables dans l’environnement Cabri : l’utilisation d’une telle macro se réduit à cliquer sur le triangle pour obtenir le triangle dépliable à partir du déplacement d’un ou deux points.

Les trois figures suivantes montrent les trois constructions réalisées avec les macros qui en ont été extraites (le détail des constructions géométriques réalisées par l’expert n’est pas précisé : il utilise des rotations et de la proportionnalité)

 

Figure 01

 

En partant du triangle ABC, on a construit la ligne brisée BDCE où les points D et E peuvent être déplacer indépendamment le long de leurs arcs d’appartenance.

La macro 1, Deplier_triangle.mac obtenue grâce à cette figure permet d’obtenir la ligne brisée dynamique en cliquant sur le triangle donné.      Lien vers Figure 01

 

             Lien_vers_vidéo_figure_01

Figure 01

 

Figure 02

 

Ici, la ligne brisée BCTE est manipulable grâce au seul déplacement du point T sur son arc d’appartenance.

La macro 2, deplier_tri_bis.mac obtenue grâce à cette figure permet d’obtenir la ligne brisée dynamique en cliquant sur le triangle donné.      Lien vers Figure 02

 

           Lien_vers_vidéo_figure_02

Figure 02

 

Figure 03

 

Dans cette dernière figure, le dépliage de la ligne brisée DBCE se fait en déplaçant seulement le point E (ce qui constitue une nette amélioration de la figure 1).

La macro 2, deplier_tri_ter.mac obtenue grâce à cette figure permet d’obtenir la ligne brisée dynamique en cliquant sur le triangle donné.        Lien vers Figure 03 

 

              Lien_vers_vidéo_figure_03   

Figure 03

 

Néanmoins, au cours de l’atelier, l’expert a donné le détail des constructions de la figure 2 pour montrer que la réalisation d’une telle figure pouvait constituer un véritable exercice de recherche pour le professeur. Un tel exercice lui permettrait de se mettre réellement en situation de recherche, situation dans laquelle il aimerait pouvoir mettre ses élèves. Voici ce détail ci-dessous dans la figure 04.

 

Figure 04

Le dernier triangle est positionné grâce à une rotation utilisant une mesure de l’arc 2’, elle même obtenue à partir d’une proportionnalité.

         Lien vers Figure 04

 

      Lien_vers_vidéo_figure_04

 

 

1.1.3.      Mise au point des fichiers

Ce travail réalisé par le professeur et l’expert conduit à des fichiers de figures utilisables en l’état avec des boutons cacher/montrer pour permettre une meilleure monstration en classe. Il a été fait usage des plug-ins de Cabri qui permettent de réaliser des fichiers HTML animables directement sous IE à partir des fichiers Cabri ou  d’insérer directement les fichiers Cabri dans des pages d’un diaporama powerpoint. Notons que les figures obtenues ne nécessitent pas de posséder le logiciel pour être manipulées. Après plusieurs tentatives auprès de ses collègues, le professeur a opté pour la version « insertion dans un powerpoint » car cela permettait à tous d’utiliser ces figures directement après un minimum d’explications pour la scénarisation avec les boutons cacher/montrer (la possibilité d’insérer les figures animables dans un document word a été écartée pour deux raisons : éviter de pénaliser ceux qui ne possédait pas le pack office mais aussi à cause de l’étape supplémentaire pour transformer la figure visible figée en figure animable) . Ce sont pratiquement ces figures qui ont été présentés au cours de l’atelier dans notre diaporama.

 

Voici l’un des trois scénarios proposés (celui concernant le modèle de dépliage 2)

Pour manipuler, utiliser le  Lien vers Figure 02 (Figure 02, 02 bis et 02 ter)

 

Figure 02 bis

 

Figure de gauche : le bouton rouge fait apparaître le triangle ABC ; juste sous ce bouton, le bouton gris fait apparaître la ligne brisée modélisant le dépliage et enfin le jaune fait apparaître le segment BE.

Figure de droite : les deux boutons gris font apparaître respectivement le périmètre du triangle ABC et la longueur BE qui évidemment ne sont pas les mêmes.

La dernière manipulation va consister à continuer à déplacer le point T vers la droite pour déplier le triangle suivant un segment (Figure 02 ter), et dans ce cas, on constate l’égalité des deux longueurs précédentes même quand on change la forme du triangle. On a mené successivement deux expérimentations, l’une générative (générant le résultat : le périmètre est la longueur du segment obtenu par dépliage du triangle) et l’autre validative (validant la conjecture précédente, c’est à dire la vérifiant dans des cas particuliers nombreux)

 

Figure 02 ter

 

1.2. Périmètre du quadrilatère

Un travail analogue a été réalisé pour les quadrilatères mais cette fois, seulement deux modèles de dépliage ont été réalisés avec leurs macros associées ; ces modèles correspondent aux deux premiers modèles présentés pour les triangles

 

Figure 05

Figure 06

 

La figure de gauche (Figure 05 : Lien vers Figure 05) permet un dépliage point par point (déplacer les points D, I et E) et conduit à la macro Deplier_polygone.mac. La figure de droite (Figure 06 : Lien vers Figure 06) permet un dépliage direct en déplaçant le point T et conduit à la macro deplier_quad.mac.

 

Lien_vers_vidéo_figure_05                Lien_vers_vidéo_figure_06

 

1.3. Exemple d’utilisation

1.3.1. Un exercice de comparaison de périmètres

Le professeur désire donner sur papier à ses élèves un exercice consistant en la comparaison des périmètres d’un triangle et d’un quadrilatère ; il désire aussi que les élèves donnent une solution géométrique utilisant le compas et l’approche précédemment illustrée de la notion de périmètre. Elle demande à l’expert de lui fournir une figure dynamique qui lui permette de mener une correction avec son ordinateur relié à son vidéoprojecteur ou sur son tableau blanc  interactif. Celui-ci construit une figure sous Cabri avec le triangle et le quadrilatère demandés par le professeur et leur applique à chacun une macro de dépliage qui servira à la correction. Le professeur imprime cette figure après avoir caché les lignes brisées de dépliages, et la photocopie pour la distribuer aux élèves. Un système de boutons est ajouté pour avoir accès aux périmètres donnés par le logiciel afin d’effectuer les vérifications finales.

1.4.2. Utilisation du fichier Cabri en classe (Figure 07 : Lien_vers_Figure_07)

Après avoir projeté le fichier fourni par l’expert avec les lignes brisées repliées, le professeur déplie le quadrilatère en déplaçant A’ et le triangle en déplaçant G’ et G’’ (figure de gauche ci-dessous). Il fait glisser le triangle pour amener les points G’ et C en superposition (figure de droite ci-dessous). On visualise que les segments modélisant les périmètres sont tels que le rouge est plus long que le bleu. On valide en faisant afficher grâce aux boutons programmés les périmètres ainsi que les distances séparant les points extrêmes des lignes brisées.

 

Figure 07

 

Remarque : pendant le dépliage du quadrilatère ABCD, si on a activé les traces des segments composant la ligne brisée, on peut voir que le dépliage conçu par l’expert conserve bien les longueurs.                                                                         Lien_vers_vidéo_figure_07

 

1.4.Périmètre du cercle

Ce paragraphe décrit les fichiers créés par l’expert pour montrer encore de manière dynamique qu’une circonférence est aussi la longueur d’un segment.

1.4.1.      Dérouler un cercle ou une bobine avec Cabri 2 Plus

C’est la manipulation naturelle dans le monde réel qui modélise de manière mécanique la longueur d’un cercle (où il est sous-entendu qu’un roulement sans glissement transmet intégralement les longueurs)

 

Figure 08

Figure 09

 

Figure 08 (Lien_vers_Figure_08) : le cercle initial en pointillé est translaté suivant le vecteur . Le segment [DE] noir représente la partie du fil se déroulant au sol si on imagine qu’on a fait rouler le cercle vers la droite. La partie non déroulée sur le cercle coloré est obtenue en reportant sur ce cercle à partir de E la différence entre la circonférence du cercle initial et la longueur DE. Un curseur a été créé sous la figure qui permet de commander le déplacement de E.                                                         Lien_vers_vidéo_figure_08

Figure 09 (Lien_vers_Figure_09) : c’est la même que la figure précédente à laquelle on a ajouté son translaté suivant un vecteur variable pour donner un effet de perspective. Le réalisme est accentué par la représentation d’un polygone régulier, et de son translaté, d’un cylindre bleu (qui est un lieu de segments) et de la bande rouge (constituée de deux lieux de deux segments. On modélise ainsi le déroulement d’un ruban adhésif.

Utilisation du fichier en classe : comme dans les fichiers sur les triangles et quadrilatères, des boutons cacher/montrer permettent d’afficher le périmètre du cercle ainsi que la distance DE qui prend la même valeur que le périmètre quand le déroulement est complet. L’expérimentation permet soit, de découvrir que le périmètre d’un cercle est bien la longueur d’un fil qui aurait été enroulé sur ce cercle soit, de valider cette hypothèse.

                                                                                          Lien_vers_vidéo_figure_09

 

1.4.2. Dérouler une bobine avec Cabri 3D

Le fichier Cabri 3D fourni par l’expert (Figure 10 : Lien_vers_Figure_10) 

Une figure encore plus réaliste peut être créée avec Cabri 3D. Cette fois la ruban déroulé est représenté par une succession de rectangles dont les bord ont été supprimés.

 

Cette figure représentée à droite est une figure qui permet de dérouler sur un tour un ruban de papier adhésif jaune en déplaçant un point indiqué. Le diamètre du ruban est affiché ainsi qu’une donnée qui sera accessible en amenant dans l’écran le texte dont on voit l’amorce >>> en haut à droite. Il est aussi possible de changer le rayon du ruban ainsi que son épaisseur.

Figure 10

 

Utilisation de ce fichier en classe : on déroule le ruban entièrement afin que la longueur affichée représente la circonférence et on demande à la classe s’il est possible de deviner un rapport entre cette circonférence et le diamètre. Il est à noter que cette activité présente plus d’intérêt avec des élèves de 6ième qui vont découvrir cet invariant qu’avec d’autres qui donneraient la réponse connue sans lien avec l’expérimentation (cette dernière viendrait seulement valider leur connaissance). A la fin, on amène dans l’écran le résultat du calcul par Cabri 3D du rapport entre la circonférence et le diamètre : celui-ci s’affiche sous la forme 3,1415926536 qui ne change pas même quand on modifie la taille du ruban. On est donc conduit à la conjecture de la formule classique donnant la circonférence en fonction du diamètre avec l’intervention d’un nombre bien particulier appeler Pi avec la notation grecque p due au fait que p est la première lettre du mot périmètre en grec.

                                                                                            Lien_vers_vidéo_figure_10

 

 

2.     AIRE

2.1. Aire du disque (Figure 11 et Figure 11 bis : Lien_vers_Figure_11)

                                                                             Lien_vers_vidéo_figure_11

Première partie de l’activité avec le fichier fourni (deux figures ci-après) : un carré jaune est affiché ainsi que son aire (figure 11 à gauche) ; on affiche ensuite le grand carré rose avec son aire en cliquant sue le bouton rose et on demande aux élèves par combien multiplier l’aire jaune pour obtenir l’aire rose. La validation de la réponse vite proposée qui est 4 est faite en affichant le nombre 4 (cliquer sur le bouton  x ) et le bouton  =  supérieur qui donne le résultat de la multiplication par 4, qui est le même que l’aire du grand carré.

 

Figure 11

 

Seconde partie de l’activité avec le fichier fourni (figure 11 bis) : on affiche le disque bleu avec son aire en cliquant sue le bouton bleu et on demande aux élèves par combien multiplier l’aire jaune pour obtenir l’aire bleue. On fait constater que la multiplication par 4 déjà affichée avec le bouton  x  donne un résultat trop grand ( le résultat a été affiché avec le bouton   =  inférieur). On entame une expérimentation par essai/erreur qui conduit à une dichotomie naturelle vers une approximation de p pour conjecturer la formule donnant l’aire du disque de rayon R en fonction de celle du carré de côté R.

 

Figure 11 bis

 

Remarque : nous proposons dans le paragraphe de complément (paragraphe 5) une construction dynamique s’inspirant d’Archimède et qui approxime l’aire d’un disque par l’aire d’un polygone régulier inscrit dans ce disque.

 

2.2. Aire latérale du cylindre avec Cabri 3D (Figures 12 et 12 bis : Lien_vers_Figure_12)

                                                                                                        Lien_vers_vidéo_figure_12

2.2.1. Modèle de l’ouverture d’un cylindre fournie par l’expert

Nous ne rentrerons pas dans le détail des constructions réalisées par l’expert pour obtenir ce modèle d’ouverture et de fermeture d’un cylindre à partir d’un curseur même si ce travail peut être un travail intéressant pour une approche différente de l’espace. Les deux figures ci-après montrent cette modélisation.

 

Figure 12

 

2.2.2 Utilisation de ce fichier en classe

Le professeur qui utilise ce fichier, ouvre complètement le cylindre pour faire constater que le dépliage final conduit à un rectangle (figure 12 bis à gauche) qu’on peut mieux visualiser en changeant le point de vue (figure 12 bis à droite). De plus la longueur mesurée de ce rectangle coïncide avec le périmètre initialement affiché du cercle de base. Cette expérimentation conduit donc à la monstration de la formule donnant l’aire latérale du cylindre en fonction de la circonférence du cercle de base et de la hauteur du cylindre d’une manière dynamique.

 

Figure 12 bis

 

Remarque : ce modèle a pu être obtenu en approximant un cylindre par un prisme régulier avec un grand nombre de faces et en effaçant les bords des faces rectangulaires. Les patrons de prismes sont présents dans Cabri 3D mais l’ouverture se fait en faisant pivoter les rectangles et la face supérieure sur le plan de la face inférieure, ce qui ne convenait pas pour l’utilisation faite précédemment.

 

2.3. Aire et agrandissement

2.3.1. Le fichier Cabri 2 Plus fourni par l’expert (Figure 13 : Lien_vers_Figure_13)

                                                                                              Lien_vers_vidéo_figure_13

Grace à l’activité générée par ce fichier, les élèves devaient être menés à la conjecture du résultat concernant les rapports d’aires d’objets liés l’un à l’autre par un coefficient d’agrandissement donné. Le fichier mis au point avait un aspect ludique pour écarter une emprise formelle peu génératrice de réelle compréhension de nouveaux concepts.

 

Figure 13

 

Ce fichier contient le petit filou avec sa pancarte, le grand filou avec la sienne. Grand filou a été obtenu comme homothétique du petit filou par une homothétie centrée en un point visible sur l’écran et déplaçable et de rapport le nombre k lui aussi affichée avec comme valeur par défaut 2 (variable didactique réglée sciemment à cette valeur). La première ligne de boutons cacher/montrer permet d’afficher les longueurs respectives des avant-bras de petit et grand filou et du rapport de ces deux grandeurs qui est évidemment égal à 2. Les quatre autres lignes de boutons affichent respectivement les aires d’une partie des corps de petit et grand filou ainsi que les rapports de leurs aires (ici 4 bien sûr !!!).

 

2.3.2. Utilisation du fichier par le professeur

Le professeur présente la figure avec les boutons désactivés.

La première manipulation consiste à déformer petit filou pour observer la déformation concomitante de grand filou. Les élèves doivent arriver à la constatation que grand filou est un agrandissement de petit filou. Pour valider une telle affirmation, le professeur affiche en activant le premier bouton les longueurs respectives des avant bras des deux personnages ainsi que leur rapport, c’est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier la plus petite longueur pour obtenir la plus grande : les élèves doivent établir le lien avec le nombre k affiché. Pour conforter ce lien, le professeur changera la valeur de k pour que les élèves observent comment grand filou se transforme et surtout si le rapport des longueurs affiché reste toujours égal à k.

La seconde manipulation va consister à activer les autres boutons pour faire afficher les aires des autres parties du corps des deux personnages ainsi que leurs rapports. Ces rapports sont les mêmes et valent 4. Ces observations vont mener à une conjecture concernant le lien possible entre le coefficient d’agrandissement k et le rapport des aires. L’expérimentation menée est du type générative. Des élèves jeunes conjecturent une formule de type 2.k  alors que des élèves plus âgés vont plus aisément conjecturer une formule de type k² ne tombant pas dans le piège didactique tendu par le couple expert-professeur. L’activité peut et doit continuer par une expérimentation validative, c’est-à-dire qui doit chercher ou bien à valider la conjecture faite (non rejet de la conjecture donc acceptation momentanée) ou à l’invalider (rejet de la conjecture même si souvent, c’est une phase de doute qui est générée).

La troisième manipulation va consister à changer la valeur de k en 3 : cette modification amène rapidement une rejet définitif de la conjecture en même temps que l’apparition de la bonne conjecture. Pour ceux qui avaient fait la bonne conjecture, cette modification vient les conforter dans la plus grande plausibilité de leur conjecture. Il n’est pas interdit de modifier k en 10, 100 et 1000 pour faire observer des rapports respectivement égaux à 100, 10000 et 1000000 même si grand Filou disparaît de l’écran.

 

2.4. Aire d’une sphère

2.4.1. Le fichier Cabri 3D produit par l’expert (Figure 13 : Lien_vers_Figure_14)

                                                                                           Lien_vers_vidéo_figure_14

 

Ce fichier représente uns sphère ayant même rayon R qu’un disque donné. les aires du disque et de la sphère sont fournies par le logiciel. En haut à droite de l’écran le début de l’affichage du rapport de ces deux aires qu’on peut faire apparaître en déplaçant vers la gauche la marque >>>>>>> visible.

D’autre part, le déplacement du point rouge permet de modifier R  Le déplacement vertical du point bleu permet de vérifier l’inclusion exacte de la sphère dans un cylindre de rayon R s’appuyant sur le disque bleu.

Figure 14

 

2.4.2. Utilisation de ce fichier pour conjecturer la formule donnant l’aire d’une sphère

Le professeur demande à ses élèves de calculer avec leurs calculatrice le rapport des aires affichées pour différentes valeurs de R obtenues en déplaçant le point rouge. Des valeurs proches de 4 doivent permettre à la classe d’entrer en débat pour émettre une conjecture que le professeur validera en affichant le rapport calculé par le logiciel (en déplaçant vers la gauche la marque >>>>>>>>). Les élèves connaissant la formule pR² donnant l’aire du disque de rayon R, il en inféreront la formule 4pR² pour l’aire de la sphère. Notons qu’on peut amener les élèves encore plus sûrement vers la bonne conjecture en faisant afficher les aires utilisées avec plus de décimales.

 

2.4.3. Conjecturer sans démontrer

Il est bien évident qu’une preuve démonstrative de ce résultat est hors de portée de nos collégiens et même de nos lycéens. Néanmoins la valeur de preuve (au sens de preuve expérimentale : résultat conforté par un grand nombre d’expériences) de cette procédure fait partie du domaine de la recherche en mathématiques. Le théorème de Fermat enfin démontré par Wiles l’a été comme une conséquence de la preuve démonstrative de la conjecture de Shimuro-Tajiyama. Cette conjecture à partir d’une certaine période est devenue comme une évidence bien que non démontrée sinon pourquoi un grand nombre de thèses de recherches ont pu être développées avec comme point de départ la véracité supposée de cette conjecture ?  

 

 

 

 

 

3. CONFUSION PERIMETRE/AIRE : UN TRAITEMENT DYNAMIQUE

A travers deux fichiers proposés par l’expert, le professeur pourra au travers d’un débat interactif avec sa classe corriger des confusions entre les notions de périmètre et d’aire. Les exemples choisis sont en plus une porte ouverte vers des activités autour des fonctions.

3.1. Triangle à périmètre constant

3.1.1. Fichier fourni par l’expert (Figure 15 : Lien_vers_Figure_15)

                                                                     Lien_vers_vidéo_figure_15

Un triangle ABC déformable à partir du point E est construit avec la contrainte d’avoir un périmètre constant. Des boutons cacher/montrer permettent d’afficher, le périmètre, l’aire de ce triangle ainsi que CE (figure de gauche ci-après). D’autres boutons permettent d’afficher un repère, un point ayant pour coordonnées CE et l’aire du triangle correspondant, la courbe de la fonction donnant l’aire en fonction de CE et la conique non activée ci-dessous passant par 5 points de cette courbe (figure de droite ci-après).

 

Figure 15

 

3.1.2. Utilisation du fichier par le professeur

Le professeur montre la figure avec tous les boutons désactivés et déplace E pour déformer le triangle : elle demande à ses élèves de dire comment ils imaginent que varient le périmètre et l’aire de ce triangle. Le but étant d’essayer de dissocier dans leur esprit une liaison systématique entre ces deux notions. On peut valider leurs propositions sur les variations de l’aire, en général à peu près correctes en affichant l’aire donnée par le logiciel. On peut invalider la proposition courante d’une variation analogue du périmètre en affichant le périmètre donnée par le logiciel et qui reste constant.

 

3.1.3. Utilisation à un niveau plus élevé

L’utilisation des boutons de droite fait apparaître une courbe décrivant les variations de l’aire en fonction du côté CE. La forme de cette courbe ne peut en aucun cas évoquer une parabole pour un spécialiste. D’ailleurs le dernier bouton active une conique passant par 5 des points de cette courbe à laquelle elle se superpose et que Cabri reconnaît comme étant une ellipse.

 

3.2. Rectangle à aire constante

3.2.1. Fichier fourni par l’expert (Figure 16 : Lien_vers_Figure_16)

                                                                      Lien_vers_vidéo_figure_16

Un rectangle déformable à partir de son point inférieur droit est construit avec la contrainte d’avoir une aire constante. Des boutons cacher/montrer permettent d’afficher, le périmètre, l’aire de ce triangle ainsi qu’en bas à gauche le détail du calcul de l’aire (figure de gauche ci-après). D’autres boutons permettent d’afficher un repère, un point ayant pour coordonnées les deux dimensions des côtes, la courbe de la fonction donnant le côté vertical en fonction du côté horizontal et la conique non activée ci-dessous passant par 5 points de cette courbe (figure de droite ci-après).

Figure 16

 

3.2.2. Utilisation du fichier par le professeur

Ce fichier est utilisé en classe comme l’a été le précédent sauf que l’attention des élèves doit d’abord se concentrer sur les variations du périmètre. Le bouton en bas à gauche permet en montrant les détails des calculs, que l’aire est bien constante lorsqu’on change de cas de figure.

 

3.2.3. Utilisation à un niveau plus élevé

L’utilisation des boutons de droite fait apparaître une courbe décrivant les variations du côté vertical en fonction du côté horizontal. La forme peut évoquer une hyperbole aussi bien pour un spécialiste que pour un débutant en classe de seconde. Ceci est d’ailleurs confirmé par l’activation du dernier bouton qui affiche une conique passant par 5 des points de cette courbe à laquelle elle se superpose et que Cabri reconnaît comme étant une hyperbole équilatère.

 

3.3. Gestion de la correction d’un exercice papier-crayon

Le professeur disposait d’un exercice sur ce sujet trouvé sur le site http://anne.math.free.fr.

La figure ci-après était fournie aux élèves qui devaient comparer périmètres et aires des figures autres que jaunes à ceux du rectangle jaune (le document papier ne contenait que les figures colorées)

 

Figure 17

 

3.3.1. Fichier fourni par l’expert (Figure 17 et Figure 17 bis : Lien_vers_Figure_17)

                                                                                               Lien_vers_vidéo_figure_17

La figure précédente apparaît sur le fichier fourni. Un couple de boutons associé à chaque polygone peut faire apparaître périmètre et aire de ce polygone. Une série de petits points cerclés permettent quand on les déplace (sur une grille cachée) de venir superposer n’importe lequel des polygones avec le rectangle jaune et ainsi d’aider le professeur à valider ou invalider les arguments de comparaison donnés par les élèves. D’autres boutons peuvent être déplacer qui modifient les formes des polygones proposés.

 

3.3.2. Utilisation du fichier par le professeur

A titre d’exemple, la figure suivante montre que les boutons associés au rectangle jaune une fois activés, affichent son périmètre et son aire sous la figure alors que l’activation des boutons associés au polygone non jaune affichent les mêmes paramètres à l’intérieur du polygone et le suivent quand on le déplace. Ceci permet une fois la superposition réalisée de pouvoir visualiser à des endroits distincts les périmètres et aires des deux polygones afin de valider ou invalider des réponses proposées. Notons que l’approche avec les figures permet une justification non numérique mais argumentée (exemple : un côté étant remplacé par une ligne brisée, le périmètre s’en trouve augmenté alors qu’un trou effectué dans un polygone peut être compensé au niveau de l’aire par un remplissage équivalent ailleurs).

 

Figure 17 bis

 

4. VOLUME

4.1. Volume d’une boule

4.1.1. Le fichier Cabri 3D produit par l’expert (Figure 18 : Lien_vers_Figure_18)

                                                                                           Lien_vers_vidéo_figure_18

 

Ce fichier représente une boule de rayon variable R et le cylindre de rayon R et donc de hauteur 2R dans lequel elle est inscrite.

Sont affichés : le volume de la boule (VB) et le volume du cylindre (VC).

Est calculé mais non visible le nombre par lequel multiplier le premier volume pour obtenir le second. Ce nombre qui a été calculé en effectuant le rapport des deux volumes précédent peut être visualisé en déplaçant le texte qui apparaît en rouge « multiplié par ».

Figure 18

 

4.1.2. Utilisation du fichier par le professeur

Le professeur mène son activité de la même manière que l’activité menant à la découverte de l’aire de la sphère  mais sera amené à effectuer avec ses élèves un petit calcul algébrique à partir de la découverte faite expérimentalement, c’est-à-dire que VC = 1,5.VB. En effet, connaissant VC = 2R. pR², on en déduira la formule VB = 4/3. pR3.

 

4.2. Volume d’une pyramide

4.2.1. Le fichier Cabri 3D produit par l’expert (Figure 19 : Lien_vers_Figure_19)

                                                                                            Lien_vers_vidéo_figure_19

 

Une pyramide à base polygonale quelconque est construite ainsi que le prisme ayant même base et même hauteur. Sa hauteur est SH. Le point S peut être déplacé dans un plan parallèle au plan de base ou verticalement (ne pas oublier d’appuyer sur la touche shift).

Les mesures des base et de la hauteur sont affichée. B.h est calculé et peut être affiché.

Les volumes de la pyramide et du prisme peuvent être affichés ainsi que le nombre par lequel multiplier le premier volume pour obtenir le second

Figure 19

 

4.2.3. Utilisation du fichier par le professeur

Même utilisation que dans le paragraphe précédent sachant que l’aire du prisme est connue.. la découverte de la formule « Volume prisme égale trois fois volume pyramide » mène bien à la formule connue.

 

4.3. Agrandissement (réduction) d’un cube

4.3.1. Le fichier Cabri 3D produit par l’expert (Figure 20 : Lien_vers_Figure_20)

                                                                                           Lien_vers_vidéo_figure_20

 

Un cube de côté variable l a été créé sur le plan de base. Il a été transformé en un autre cube par une homothétie centrée en un point de ce plan de base et de rapport le nombre 3 préalablement affiché (ce nombre peut être modifié). Le côté de ce grand cube a été mesuré. On peut aussi afficher le produit de l par le rapport de l’homothétie pour bien vérifier au niveau élève que le nombre 3 affiché est bien le coefficient d’agrandissement.

Les volumes des deux cubes sont affichés. Le nombre par lequel multiplier le petit volume pour obtenir le volume du grand peut aussi être affiché.

Figure 20

 

4.3.2. Utilisation du fichier par le professeur

On peut commencer par modifier la taille du petit cube et éventuellement le rapport pour observer ce qui se passe On peut comme il a été indiqué ci dessus afficher le produit de l par le rapport de l’homothétie pour bien vérifier au niveau élève que le nombre 3 affiché est bien le coefficient d’agrandissement. On essaie avec les élèves de déterminer par combien est multiplié le volume du petit cube. La détermination du coefficient 9 n’ouvre pas directement la voie à la bonne conjecture. En général, au niveau débutant, les élèves pensent qu’il faut multiplier le coefficient d’agrandissement par 3. Le professeur est amené à faire valider ce résultat en changeant le rapport affiché : on change 3 en 4 et là on constate que la conjecture de la multiplication par 3 doit être rejetée. Dès que la bonne conjecture apparaît on peut la valider en changeant le rapport pour 10, 100 et visualiser des multiplications par 1000, 1000000…

 

5. COMPLÉMENT (aire d’un disque : approximation « à la Archimède »)

Lien_vers_figure_complément         Lien_vers_vidéo_figure_complément

 

L’enchaînement des figures qui suivent peut constituer un « raisonnement sans mot » pour arriver à convaincre ou se convaincre que la formule donnant l’aire d’un disque en fonction du rayon est bien la formule connue. Il aura suffit d’approximer ici l’aire du disque par l’aire d’un polygone régulier à 30 côtés (inscrit dans ce cercle) qu’on déplie suivant un peigne jaune. Le peigne jaune est doublé pour donner un parallélogramme d’aire double (approximativement de celle du disque initial). Le parallélogramme est enfin transformé en un rectangle de même aire qu’on sait calculer en fonction des observations visuelles faites (hauteur du rectangle donnée par le rayon du disque et longueur égale au périmètre du disque). La conclusion est que l’aire cherchée serait donnée par la formule :

 

Figure_complément_1

 

Figure_complément_2

 

Figure_complément_3

 

Remarque : dans le cas de figure proposé nous avons évalué l’erreur relative commise en approximant l’aire du disque par la somme des aires des 30 triangles isocèles composant notre polygone régulier et nous avons trouvé une erreur de l’ordre de 7.10-3

Une autre investigation dans un autre fichier Cabri nous a permis d’obtenir le tableau d’approximation suivant indiquant à partir de combien de côtés n l’aire de notre polygone approximait l’aire du disque avec une erreur inférieure à 10-k.

 

Erreur inférieur à

A partir de n égal à

10-3

82

10-4

257

10-5

812

10-6

2566

10-7

8132

10-8

26318

10-9

114788

 

 

5. CONCLUSION

Cet atelier a montré comment l’utilisation des logiciels de géométrie dynamique Cabri 2 Plus et Cabri 3D par un couple expert-enseignant peut conduire à la mise au point de ressources innovantes pour l’enseignement des notions de périmètre, aire et volume au niveau du collège. De telles ressources mettent bien en évidence une démarche expérimentale médiée par le technologie avec une mise en évidence des deux types d’expérimentations possibles : les expérimentations génératives qui conduisent à une conjecture et les expérimentations validatives qui confirment ou infirment une conjecture.

Pour conclure sur le changement d’approche permis par les environnements hautement didactiques Cabri, deux exemples ont été montrés :

 

Le premier qui a été présenté pour la première fois en 2001 au cours du congrès T3 de Columbus montre la trisection  dynamique d’un cube en perspective cavalière. Ce fichier permet la monstration de la formule  donnant le volume d’une pyramide dans un cas particulier.

 

Figure 21 : Lien_vers_Figure_21

 

Lien_vers_vidéo_figure_21

 

Figure 21

 

Le déplacement des points S2 et S3 permet de découper un cube en trois morceaux pyramidaux de même forme et mêmes dimensions. On en déduit que le volume d’une pyramide ayant cette forme est égale au tiers du volume du cube dont elle est issue. Si le cube a pour côté a, alors la pyramide aura pour volume 1/3.a3. Ce dernier résultat est bien celui qu’on aurait obtenu en appliquant la formule générale 1/3.base.hauteur.

(Voir : http://www.irem.ups-tlse.fr/groupes/03mathinfo/percav/ppwithcabrids.htm )

 

Le second a été réalisé par l’expert comme réponse à un défi lancé par le professeur qui désirait voir illustré le patron diabolique découvert dans une revue pédagogique qui montre la 6-section d’un cube.

 

Figure 22 et Figure 22 bis :

Lien_vers_Figure_22

 

Lien_vers_vidéo_figure_22

 

Figure 22

 

Le fichier réalisé permet de décomposer un cube en 6 morceaux pour lesquels le logiciel donne le même volume (voir figures qui suivent). Si on fait calculer le rapport du volume du cube initial et de celui de l’un de ces morceaux, on trouve 6. Ceci montre que le cube a été décomposé en 6 parties égales. La démonstration déductive est ici aisée.

 

Figure 22 bis

 

Pour finir, nous pensons que la mise en ligne de la scénarisation de ces ressources sous forme de vidéos est un pas qui doit permettre aux enseignants de s’affranchir dans un premier temps de toute connaissance sur un quelconque logiciel de géométrie dynamique. La manipulation en ligne avec les plug-ins devrait être une seconde étape où le professeur pris par la main pourra entrer en action. La dernière étape pourrait enfin être la prise en main d’un logiciel ayant l’ergonomie spécifique des environnements Cabri.