Article publié dans le fil d'Ariane 13 bis

Une collaboration entre le collège de Lalande et
l'Université Paul Sabatier à Toulouse

Xavier Buff, Jean-Luc Aced, Christine Ferrero, Dominique Pallec

Cet article est une production du groupe "Les fractales dans nos classes".
 
 

Présentation du projet 5+5=réussite.
Présentation du travail sur les fractales.
Présentation du travail sur les statistiques.
Annexe 1. La courbe ``flocon de neige''.
Annexe 2. Le triangle de Sierpinsky.
Annexe 3. Notion de dimension fractale.

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Présentation du projet 5+5=réussite.

Dans l'académie de Toulouse, le projet 5+5=réussite, initié en 1999 par Madame la Ministre Ségolène Royal, avait
pour but d'établir un lien entre cinq collèges de Haute-Garonne classés en Zone d'Education Prioritaire, et cinq
établissements de l'enseignement supérieur. 

A Toulouse, la gestion du partenariat entre le collège de Lalande et l'Université Paul Sabatier a été confiée à
l'I.R.E.M. Un groupe de recherche a été créé. 

Composition du groupe. 
Responsable : Xavier Buff.
Membres du groupe : Jean-Luc Aced, Christine Ferrero et Dominique Pallec.
Intervenant extérieur : Joseph Saint-Pierre. 


Le partenariat entre le collège de Lalande et l'Université Paul Sabatier a été développé suivant plusieurs axes : 
la visite de l'Université Paul Sabatier par des élèves du collège de Lalande - des élèves de quatrième ont ainsi pu découvrir le campus, les amphithéâtres, et ont visité quatre laboratoires de recherche; 
l'élaboration d'un questionnaire statistique et la réalisation de l'enquête du collège de Lalande, la saisie informatique puis le traitement informatique des données statistiques par les ordinateurs du laboratoire de statistique de l'Université Paul Sabatier; 
la mise au point de séances d'activités au cours desquelles les élèves ont été amenés à travailler sur des objets mathématiques ayant une structure fractale. Ces activités ont été élaborées avec le soucis de respecter le programme de mathématiques et les pré-requis des élèves de la classe de quatrième; 
l'organisation en fin d'année scolaire par les élèves d'une soirée au cours de laquelle ils ont présenté les travaux réalisé en cours d'année, à leurs parents ainsi qu'à des représentants de l'Université Paul Sabatier et au groupe I.R.E.M. 
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Présentation du travail sur les fractales.

Avertissement.

Il est difficile de définir de manière rigoureuse ce qui est fractal et ce qui ne l'est pas. 

La définition proposée dans le Larousse est la suivante: 
Se dit d'objets mathématiques dont la création ou la forme ne trouve ses règles que dans l'irrégularité ou la fragmentation. 

Dans son livre [Les objets fractals (Flammarion)], B. Mandelbrot écrit : 

..."objet fractal" et "fractale", termes que je viens de former, pour les besoins de ce livre, à partir de l'adjectif latin fractus, qui signifie "irrégulier ou brisé".
Fractale. n.f. Configuration fractale. Ensemble ou objet fractal.
Remarque. Puisque mon adjectif pluriel fractals avait prêté à controverse, il paraît bon que le nom correspondant soit féminin. J'y tiens, bien que de nombreux collègues choisissent spontanément le masculin. La raison en serait qu'ils ne considèrent pas fractal comme étant un mot français qui serait passé à l'anglais. 

Il est également possible d'introduire la notion de dimension fractale - mais c'est une notion assez complexe (voir annexe 3) - et de dire qu'un objet est fractal lorsque sa dimension fractale n'est pas un entier. 

Dans le cadre du projet 5+5=réussite, qui s'adresse à des collégiens, nous avons décidé de ne pas donner de définition des fractales, mais d'insister sur les propriétés spécifiques de ces objets. Au cours de l'année, nous avons élaboré six activités se rapportant aux fractales. 

Lors des premières séances, les élèves ont principalement effectué un travail de découverte et d'observation. Il s'agissait de mettre en évidence deux propriétés spécifiques des figures fractales : l'auto-similarité et la complexité de l'objet quelle que soit l'échelle à laquelle on l'observe. 

Les élèves ont ensuite eux-même effectué des reproductions et des constructions de figures fractales, notamment des triangles et des tapis de Sierpinsky. 

Lors des deux activités suivantes, les élèves ont été amenés à utiliser leurs connaissances mathématiques pour faire des calculs et émettre des conjectures concernant certaines propriétés de ces figures fractales. 

Notre but n'était pas de faire un cours sur les fractales, mais de faire connaître ces objets mathématiques et certaines de leurs propriétés de la façon la plus ludique possible.

Activité 1: l'auto-similarité

Lors de cette activité, les élèves ont observé des objets de la vie quotidienne ayant une structure fractale : des photos d'une côte maritime et d'une fougère ainsi que des agrandissements de ces photos, et un chou romanesco.

Le but de cette activité était de mettre en évidence la propriété d'auto-similarité des objets fractals. Cette propriété se traduit par le fait que la complexité des objets reste la même (ou quasiment la même) lorsqu'on l'agrandit.

figure1

Photographies d'une fougère culcita.

figure4

Photographies d'un chou romanesco prises par Alain et Françoise Durac.

On a ensuite demandé aux élèves de citer d'autres objets qui ont le même type de propriétés (une éponge, un nuage, des racines, les branches d'un arbre, les poumons, les vaisseaux sanguins, du corail, etc...).

Activité 2 : plusieurs mesures.

Au cours de cette activité, les élèves ont effectué plusieurs mesures de la longueur de la frontière franco-espagnole. Les mesures ont été faites sur plusieurs cartes, à l'aide de reports au compas. Afin d'augmenter la précision, les élèves ont utilisé des échelles de plus en plus grandes et des écartements de compas de plus en plus petits. 

Le but de cette activité était de leur montrer que la mesure obtenue augmente avec la précision et de leur faire conjecturer que, aussi incroyable que cela puisse paraître, on ne peut pas mesurer cette longueur qui est en fait infinie. 

Remarque. En 1961, Richardson observait que la longueur de la frontière hispano-portugaise était mesurée à 380 km par les Espagnols et 449 km par les Portugais, soit une différence d'environ 18%. 

Activité 3 : Observations.

Nous avons affiché dans la salle de classe des figures géométriques fractales.

figure51

Figure 3: Une fougère mathématique.
 
 

figure5

Figure 4 : La courbe et le flocon de von Koch.
 
 

figure5

Figure 5 : Le triange et le tapis de Sierpinsky.
 
 

figure6
Figure 6 : L'éponge de Menger; un objet fractal en trois dimensions.

Les élèves ont pu observer ces figures pendant la semaine. Ils ont eu l'occasion de poser des questions à la fin des cours. En fin de semaine, ils ont fait un travail de synthèse de leur différentes observations. Ils ont retrouvé les propriétés d'auto-similarité des objets naturels non géométriques qu'ils avaient observées lors de l'activité 1.

Cette séance a été l'occasion de leur préciser le nom de quelques figures fractales très connues (voir Fig. 4,5 et 6).

Remarques. La fougère mathématique de la figure 3 a été tracée à l'aide de trois équations extrêmement simples. Certains chercheurs pensent que l'ADN d'une fougère n'encode peut être pas l'endroit où les feuilles doivent pousser, mais une formule qui contôle leur distribution. Même si l'ADN contient une quantité surprenante d'informations, il ne peut contenir toutes les données nécessaires pour déterminer où chaque cellule du corps humain doit aller. Cependant, en utilisant des formules fractales pour savoir où les vaisseaux sanguins doivent se brancher et où les nerfs doivent être créés, l'ADN a suffisamment d'informations.

C'est en 1904 que le mathématicien suédois Helge von Koch a donné le premier exemple de courbe de longueur infinie, délimitant une région d'aire finie [Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire]. L'éponge de Menger a une propriété similaire : son volume est fini, mais son bord est d'aire infinie. Le triangle et le tapis de Sierpinsky ont été introduits en 1915. Le tapis de Sierpinsky possède la propriété remarquable que, bien qu'il n'ait aucune ``épaisseur'', les carrés blancs qu'il sépare ne se touchent pas.

Actvité 4 : constructions.

Les élèves ont été amenés à reproduire certaines des figures fractales qu'ils avaient observées au cours de l'activité 3 (il est à noter que certains avaient pris l'initiative de le faire chez eux avant que l'activité ne soit proposée).

Afin de faciliter ces constructions, nous avons fourni aux élèves du papier triangulé et du papier quadrillé (ainsi, ils avaient tous la même trame).

Lors de cette activité, les élèves ont commencé par s'aider de la trame pour les premières étapes de la construction. Puis, ils ont dû conjecturer une méthode à suivre lorsque les détails sont devenus plus petits que la trame dont ils disposaient.

Enfin, lorsque les détails sont devenus beaucoup trop petits pour être dessinés, les élèves ont dû élaborer un nouveau procédé de construction. Ainsi, des réductions à l'aide d'une photocopieuse, suivies de collages, ont permis d'atteindre une précision que l'on n'aurait pas pu obtenir à la main. Lors de cette étape, les élèves se sont rendus compte qu'un triangle de Sierpinski est en fait un assemblage de 3 triangles de Sierpinski 2 fois plus petits.

figure7

Figure 7 : Les premières étapes de la construction du triangle de Sierpinsky.

Activité 5 : calculs (voir annexe 1).

Cette activité en classe se rapproche beaucoup plus du travail ``classique'' effectué en cours de mathématiques. Il s'agit d'un travail sur le flocon de Von Koch qui a pour but de faire sentir aux élèves que le périmètre de ce flocon est infini (voir travail sur la frontière franco-espagnole de l'activité 2). 

Il est nécessaire de proposer cette activité aux élèves après avoir traité le chapitre sur les puissances. Lors de cette activité, les élèves ont eu l'occasion de mettre en application leurs connaissances sur les puissances. Mais surtout, ils ont dû faire un gros travail de conjecture. 

Remarque. On peut éventuellement insister sur le fait que l'aire du flocon de von Koch est finie (c'est historiquement la raison pour laquelle le flocon a été introduit), soit en calculant l'aire à chaque étape, soit en montrant que le flocon est contenu dans un disque d'aire finie. 

Activité 6 : calculs (voir annexe 2).

Cette activité a été proposée en devoir à la maison. Les élèves ont été mis en confiance lors de l'activité 5 qui est assez semblable dans la structure. Ils ont effectué un travail mathématique beaucoup plus complet, faisant intervenir en plus des démonstrations géométriques (théorème de Thalès) ainsi que des calculs d'aire.

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Présentation du travail sur les statistiques.

Le choix de faire travailler les élèves sur les statistiques s'est imposé naturellement dans le cadre de l'opération 5 + 5 = réussite. En effet, les statistiques ont la particularité d'être enseignées en mathématiques dans toutes les classes de la 6ème à la terminale et bien au-delà, à l'université. Les statistiques représentent donc un point commun entre les mathématiques enseignées au collège et celles enseignées ou pratiquées à l'université.

Le but de ce travail sur les statistiques était de faire élaborer par les élèves un questionnaire statistique puis de procéder au codage informatique de ce questionnaire et enfin de faire traiter ces informations par les ordinateurs du Centre Inter-universitaire de Calcul de Toulouse.

Pour pouvoir élaborer le questionnaire, nous avons demandé aux élèves de faire une liste de questions qui pouvaient être, à leur sens, intéressantes. Puis, au cours d'une activité en classe, les élèves ont regroupé leurs questions en grandes familles telles que l'état civil, les habitudes de vie, les loisirs, le sport, les relations avec les parents,...

Ensuite, ils ont éliminé les questions redondantes ou celles qui ne faisaient pas l'unanimité. Nous les avons alors prévenus qu'ils auraient certainement à reformuler ou même éliminer certaines questions qui allaient leur poser des problèmes plus tard, notamment lors de la phase délicate du codage des informations.

Une fois élaboré puis imprimé, le questionnaire a été distribué par les élèves à tous les élèves du collège ainsi qu'une école primaire du quartier. Une fois remplis, tous ces questionnaires ont été collectés pour préparer la phase du codage des données.

Au cours d'une activité en classe, nous avons d'abord demandé au élèves comment ils pourraient s'y prendre pour effectuer ce codage et comment ils pourraient collecter ces informations.

Il est très vite apparu qu'il fallait d'abord numéroter tous ces questionnaires afin de pouvoir retrouver rapidement les informations collectées et d'éviter les confusions. Ensuite s'est posé le problème du codage : les élèves ont eu beaucoup de mal à transformer des réponses en données facilement exploitables mathématiquement, c'est-à-dire en nombres, surtout lorsqu'il s'agissait de questions qualitatives.

Lorsqu'un premier codage a été élaboré, les élèves ont commencé un travail de saisie informatique des données codées à l'aide d'un tableur. Il est à noter que le codage a été affiné par la suite et que les élèves n'ont pas effectué la saisie de toutes les données puisque le questionnaire concernait 274 élèves et comportait 61 questions dont certaines étaient ``ouvertes'' ou bien proposaient plusieurs réponses possibles !

Le traitement des données statistiques portant sur 45 de ces questions a été confié à Joseph Saint-Pierre, ingénieur au CICT (Centre Inter-universitaire de Calcul de Toulouse). Nous présentons ici des diagrammes illustrant quelques résultats de ce traitement statistique. Il ne s'agit que d'une infime partie de l'énorme travail réalisé par Joseph Saint-Pierre. Il a en effet produit plus d'une centaine de tableaux d'effectifs et de fréquences portant sur les données brutes, ainsi que sur de multiples croisements de données. Nous présentons ici quelques uns de ces tableaux. 

 
Date de Naissance  effectif  pourcentage 
83  3.4% 
84  38  14.2% 
85  43  16.1% 
86  49  18.4% 
87  48  18.0% 
88  34  12.7% 
89  43  16.1% 
90  1.1% 
total  267  100.0% 
 
  moyenne  médiane  maximum  minimum 
Taille (en cm)  156  157  200  125 
 
Taille (en cm)  Garcon  Fille  Total 
moyenne  157  154  156 
médiane  158  156  157 
maximum  200  175  200 
minimum  125  126  125 
 
Taille (en cm)  College  Ecole  Total 
moyenne  160  143  156 
médiane  160  142  157 
maximum  200  159  200 
minimum  133  125  125 

Les diagrammes présentés ici permettent de mieux visualiser quelques données collectées. Par exemple le graphique ``Taille des élèves en fonction de l'âge et du sexe'' permet de visualiser le croisement des trois données que sont la taille, l'âge et le sexe. Mais, attention, les statistiques ne se résument pas à des diagrammes. De plus, il est important de ne pas extrapoler à partir de ces diagrammes. Ainsi, la méthode d'approximation par les moindres carrés montre que la taille des élèves peut être bien approchée par une fonction affine de l'âge. Ce résultat est mis en avant sur le graphique ``Taille des élèves en fonction de l'âge et du sexe''. Mais il ne concerne que des individus donnés (les élèves du collège de Lalande) sur une tranche d'âge donnée (9 à 18 ans). Il est clair que la taille d'un individu ne croît pas de manière affine tout au long de sa vie.

figure8
Diagramme ``Camembert'' répartition des sexes.
 

figure9
Origine géographique.
 

.figure10
``Camembert'' pour les religions.
 

figure11
Effectifs par religions.
 

figure12
Taille des élèves en fonction de l'âge et du sexe.

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Annexe 1. La courbe ``flocon de neige''.

 Reproduire, en les agrandissant, les états 0, 1 et 2 de la courbe ``flocon de neige''; les triangles sont équilatéraux.
 
 

figure13





Expliquer précisément comment on passe d'un état de la courbe au suivant.

Construire l'état 3 de la courbe (à titre indicatif, dans une feuille 21*29,7 on peut faire tenir cette figure si le triangle initial a 18cm de côté).

a. Compter le nombre de côtés de chacun des états 0, 1, 2 et 3.

b. Quel serait le nombre de côtés de l'état 10 ?

c. Quel est le nombre de côtés de l'état n (n est un entier naturel quelconque) ?

d. En utilisant l'approximation 210~103, donner une approximation du nombre de côtés à l'état 80.

a. Si l'on prend comme unité de longueur, la longueur du côté du triangle équilatéral initial, quel sera le périmètre de la courbe dans les états 0, 1, 2 et 3 ?

b. Quel serait le périmètre de la courbe à l'état 10 ?

c. Quelle est la longueur d'un côté à l'état n? Combien y a t-il de côtés ? Quel est alors le périmètre de la courbe à l'état n ?

d. En utilisant l'approximation (4/3)8~10? donner une approximation du périmètre de la courbe à l'état 80.

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Annexe 2. Le triangle de Sierpinsky.

Tu as tracé en classe à l'aide d'une triangulation, un triangle équilatéral de Sierpinsky. Ce devoir maison va te permettre de mettre en évidence certaines propriétés de cette fractale particulière. Ci-dessous sont représentées les quatre premièresétapes de la constructions d'un tel triangle. 
 
 

figure10





1. Nombre de triangles blancs. a. Compte le nombre de triangles blancs à chacune des étapes 0, 1, 2 et 3.

b. Quel serait le nombre de triangles à l'étape 5 ?

c. Quel est le nombre de triangles à l'étape n (n étant un entier positif quelconque) ? On vérifiera le résultat obtenu en remplaçant n par 0, 1, 2 ou 3 et en comparant avec les réponses données en a.

d. Approximation : donne à l'aide de la calculatrice, l'écriture scientifique d'une valeur approchée du nombre de triangles blancs à l'étape 10.

2. A propos des triangles blancs. a. Etape 1 : démontre que (A1B1) est parallèle à (AB) puis complète

A1B1 = ...... * AB.

Démontre que A1B1C1 est un triangle équilatéral. Quelle est la nature des triangles A1C1B et C1B1A ? Compare les longueurs des côtés des trois triangles blancs.

b. Etape 2 : démontre de même que (A2B2) est parallèle à (AB) puis complète 

A2B2 = ...... * AB.

Quels sont les points communs de tous les triangles blancs à l'étape 2 ?

c. Quelle est la nature des triangles blancs obtenus à l'étape 5 ? Que peut-on dire de leurs côtés ?

d. Et à l'étape n (n étant un nombre entier positif quelconque) ?

3. Périmètres des triangles blancs. Soit P le périmètre à l'étape 0. Soient P1, P2, ..., P5, ..., Pn, (n étant un nombre entier positif) les périmètres des triangles blancs respectivement aux étapes 1,2, ..., 5, ..., n.

a. Recopie et complète l'égalité suivante en expliquant (utilise un théorème vu en classe) P = ...... * P1.

On en déduit que : 

P1 = P / ......

b. Recopie et complète de la même façon en expliquant : 

P1 = ...... * P2; P = ...... * P2; P2 = P / ......

c. En utilisant les questions a. et b. recopie et complète les égalités suivantes : 

P = ...... * P3; P3 = P / ......; P = ...... * P5; P5 = P / ......

P = ...... * Pn; Pn = P / ......

4. Aire des triangles blancs. Soit A, l'aire du triangle à l'étape 0.

a. Donne en fonction de A l'aire d'un triangle blanc à chacune des étapes 1, 2 et 3.

b. Quelle serait l'aire d'un triangle blanc à l'étape 5 ? Quelle est-elle à l'étape n ?

5. Approximations. Dans cette partie, on utilisera l'approximation : 210~103.

a. Recopie et complète les égalités avec des nombres entiers : 

4 = 2... ; 410 = (2...)...   donc   410~(103)....

b. On suppose que le périmètre P vaut 1 unité de longueur; donne une valeur approchée du périmètre d'un triangle blanc à l'étape 10.

c. On suppose que l'aire A vaut 1 unité de longueur; donne une valeur approchée de l'aire d'un triangle blanc à l'étape 10.

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Annexe 3. Notion de dimension fractale.

 On trouve plusieurs définitions de ``dimension fractale'' dans la littérature. Ces définitions co?ncident dans la plupart des cas, mais il existe cependant des exemples ``pathologiques'' pour lesquels on obtient des dimensions différentes. Nous nous contenterons de présenter ici celle qui est le plus souvent utilisée : la dimension de Hausdorff (aussi appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch)

Commençons par préciser quelles sont nos attentes. Nous voulons qu'un segment ou une réunion d'un nombre fini de segments soit de dimension 1, qu'un carré ou un disque soient de dimension 2 et qu'un cube ou une boule soient de dimension 3. Par exemple, nous voulons qu'un cube plein soit de dimension 3, que la réunion de ses faces soit de dimension 2 et que la réunion de ses arêtes soit de dimension 1. Il nous semble assez difficile de justifier cette demande. Nous ne tenterons donc pas de le faire.

En revanche, nous allons essayer d'expliquer comment distinguer ces différents cas. Il est assez habituel de considérer la longueur d'un segment, et plutôt inhabituel de considérer son aire ou son volume. En revanche, on aura tendance à étudier l'aire d'un carré ou d'un disque, alors qu'on s'intéressera assez peu à son volume, et qu'on hésitera à parler de sa longueur. Le lecteur l'aura compris, dans le cas d'un cube ou d'une boule, c'est le volume qui est important.

La longueur, l'aire et le volume ont des propriétés communes. Ces trois quantités permettent de ``mesurer'' des objets. Si on déplace un objet (translation, rotation) sa longueur, son aire ou son volume ne changent pas. Si un objet est formé de plusieurs morceaux plus petits, alors, la longueur, l'aire ou le volume de l'objet sont égaux à la somme des longueurs, des aires ou des volumes des morceaux.

Cependant, une propriété fondamentale (parfois peu appréciée par les élèves) distingue ces trois quantités: lorsqu'on dilate l'objet d'un facteur k, la longueur est multipliée par k, l'aire est multipliée par k2 et le volume est multiplié par k3. Par exemple, l'aire d'un carré de côté 5a est égale à 25=52 fois l'aire d'un carré de côté a. Le volume d'un cube de côté 5a est égal à 125=53 fois le volume d'un cube de côté a. Il est essentiel de remarquer que la dimension appara?t en exposant.

1. Définition de la mesure en dimension d.

Pour définir la dimension de Hausdorff d'un sous-ensemble X de R3 (on pourrait tout aussi bien considérer un sous-ensemble X de Rn, mais nous avons pris le parti de nous limiter à n=3), on commence par définir la mesure de X en dimension d, où d dans [0,3] est un réel quelconque. Nous verrons ensuite qu'il y a une dimension d pour laquelle il est plus naturel de mesurer X. Cette dimension privilégiée est la dimension de Hausdorff de X.

Remarque. La mesure en dimension d généralise les notions de longueur (mesure en dimension 1), d'aire (mesure en dimension 2) ou de volume (mesure en dimension 3). Nous allons tout faire pour que les propriétés suivantes soient satisfaites:
si on déplace un objet (translation, rotation) sa mesure en dimension d ne change pas;
si un objet est formé de plusieurs morceaux plus petits, alors, la mesure en dimension d de l'objet est égale à la somme des mesures en dimension d des morceaux;
lorsqu'on dilate un objet d'un facteur k, la mesure en dimension d est multipliée par kd.
Pour définir la mesure de X en dimension d, il nous faut être un peu technique.

Définition. Un e-recouvrement de X est une famille (Bi) de boules de diamètres diam(Bi) inférieurs à e, telle que X soit contenu dans la réunion des boules Bi.

On peut alors définir une valeur approchée de la mesure de X en dimension d avec précision e.

Définition. On définit mesd(X,e) comme étant l'infimum sur tous les e-recouvrements (Bi) de X des sommes de  [diam(Bi)]d

Lorsqu'on fait décroitre e, on a moins de e-recouvrements, et par conséquent, la quantité mesd(X,e) croit.

Remarque. C'est le même phénomène qui se produit lorsque l'on mesure la longueur de la frontière franco-espagnole dans l'activité 2. On a donc une limite, éventuellement infinie, quand tend vers 0. C'est la mesure en dimension d de X.

Définition. La mesure en dimension d de X est définie par

mesd(X) = lime->0 mesd(X,e).

Remarque. Les mesures en dimension 2 ou 3 ne sont pas égales à l'aire et au volume. Elles leurs sont néanmoins proportionnelles : 

aire =  mes2*pi/4      et       volume = mes3*pi/6.

2. Définition de la dimension de Hausdorff.

Nous avons déjà mentionné plus haut que pour chaque sous-ensemble X de R3, il y a une dimension où il est plus naturel de mesurer X (c'est la dimension de Hausdorff de X).

Proposition. Il existe un réel dX dans [0,3] tel que pour d<dX, mesd(X) est infinie, et pour d>dX, mesd(X) est nulle. 
La preuve n'est pas très compliquée mais un peu technique. Il faut remarquer que si d<d', alors mesd'(X,e) est inférieure ou égale à ed'-d mesd(X,e). Ce n'est pas complètement évident. On voit alors, en faisant tendre e vers 0, que si mesd(X) est finie alors mesd'(X)=0 pour tout d'>d. La proposition découle alors facilement.

Définition. La dimension de Hausdorff de X est par définition le réel dX

Signalons dès maintenant une propriété essentielle de la mesure et de la dimension de Hausdorff.

Proposition. Si X est contenu dans Y, alors pour tout réel d>0, mesd(X) est inférieur ou égal à mesd(Y). Il s'ensuit que la dimension de Hausdorff de X est inférieure à la dimension de Hausdorff de Y. 

Remarque. On remarquera notamment que si X est contenu dans une droite ou dans un plan, alors sa dimension de Hausdorff est inférieure ou égale respectivement à 1 ou à 2.

3. Comment trouver la dimension de Hausdorff d'un ensemble.

Pour trouver la dimension de Hausdorff d'un ensemble X, on va utiliser une propriété de la mesure en dimension d que nous avons signalée plus haut, et que nous énonçons plus précisément maintenant.

Etant donné un sous-ensemble X de R3et un réel k>0, on appelle kX l'ensemble  des points de la forme (k*x,k*y, k*z) avec (x,y,z) dans X. Cet ensemble est obtenu en dilatant X d'un facteur k.

Proposition. Pour tout sous-ensemble X de R3, tout réel k>0 et tout réel d>0, on a mesd(kX) =kd mesd(X).

La preuve de cette proposition est là encore relativement facile. Il suffit de remarquer que si (Bi) est un e-recouvrement de X, alors (kBi) est un ke-recouvrement de kX.

Cette propriété peut être utilisée pour ``deviner'' la dimension de Hausdorff de certains ensembles.

Commençons par ``deviner'' la dimension de Hausdorff de la courbe de von Koch. Observons que la courbe de von Koch est constitué de 4 courbes de von Koch 3 fois plus petites. On a donc

mesd(X)= 4mesd{(1/3) X} = 4/3d mesd(X).

Si jamais mesd(X) est finie et non nulle (et ceci ne peut se produire que lorsque d est la dimension de Hausdorff de X), alors on peut simplifier à gauche et à droite par mesd(X) et on obtient 3d=4, d'où d=log4/log3=1.2619... La seule difficulté est de montrer que meslog4/log3(X) est finie et non nulle. Nous verrons plus loin comment comment procéder.

Cette méthode très simple permet également de deviner la dimension de Hausdorff du triangle de Sierpinsky. En effet, ce triangle est composé de 3 triangles 2 fois plus petits. On a donc 

mesd(X) = 3mesd{(1/2)X} = 3/2d mesd(X).

D'où 2d=3 et d=log3/log2=1.585...

On peut également trouver la dimension de Hausdorff du tapis de Sierpinsky ou de l'éponge de Menger. Le tapis de Sierpinsky est constitué de 8 tapis 3 fois plus petits, et sa dimension de Hausdorff est log8/log 3=1.8928... L'éponge de Menger est constituée de 20 éponges 3 fois plus petites, et sa dimension de Hausdorff est log20/log3=2.7268...

4. La dimension de Hausdorff de la courbe de von Koch est log4/log3.

Rappelons que par définition, si mesd(X) soit finie et non nulle, alors la dimension de Hausdorff de X est égale à d. 

Pour simplifier, nous allons considérer le cas d'une courbe de von Koch construite à partir d'un segment de longueur 1. Nous allons montrer que la mesure de cette courbe en dimension log4/log3 est comprise entre 1/12 et 1. Comme cette mesure est finie et non nulle, nous en déduisons que la dimension de Hausdorff de la courbe de von Koch est log4/log3. Nous insistons cependant sur le fait que la démonstration est relativement technique et difficile.

Le point crucial de la démonstration est que la courbe de von Koch est constitué de 4n courbes de von Koch de diamètre 1/3n, et qu'une boule de diamètre inférieur ou égal à 1/3n intersecte au plus 3 de ces courbes.

Montrons d'abord que la mesure de la courbe de von Koch en dimension log4/log3 est inférieure à 1. Etant donné e, on choisit n suffisamment grand pour que 1/3n soit inférieur à e. On peut alors recouvrir la courbe de von Koch avec 4n boules de diamètre 1/3n (voir Fig. 12 pour le cas n=2). 

figure12
Figure 12 : Un recouvrement de la courbe de von Koch de longueur 1 par des boules de diamètre 1/9.

Pour tout e>0, meslog4/log3(X,e) est donc inférieure à 4n*(1/3n)log4/log3 = 1. On obtient que meslog4/log3(X) est inférieure ou égale à 1 en faisant tendre e vers 0. 

Montrons maintenant que cette mesure est supérieure à 1/12 (ceci est bien plus délicat). Si ce n'était pas le cas, alors on pourrait trouver un recouvrement du flocon par des boules (Bi) de sorte que  la somme des quantités [diam(Bi)]log4/log3 soit inférieure à 1/12.Comme la courbe est compacte, on pourrait supposer le recouvrement fini, c'est-à-dire, on pourrait supposer que  i varie de 1 à N. On définirait alors les entiers ki tels que les diamètres diam(Bi) soient compris entre 1/3ki et 1/3ki-1. On aurait alors 

1/12 > Somme [diam(Bi)]log4/log3 > Somme (1/3ki)log4/log3 = Somme 1/4ki.
Soit maintenant n le plus grand des entiers ki. Rappelons que la courbe de von Koch est constitué de 4ki-1 courbes de von Koch de diamètre 1/3ki-1 et que chaque boule Bi intersecte au plus 3 de ces courbes. Il s'ensuivrait que chaque boule Bi intersecterait au plus 3*4n+1-ki courbes de von Koch de diamètre 1/3n parmi les 4n qui constituent la courbe de von Koch. Comme les 4n courbes sont contenues dans la réunion des boules Bi, on aurait 
4n < Somme 3*4n+1-ki = 12*4n Somme 1/4ki < 12*4n*(1/12) = 4n.
On obtiendrait donc une contradiction.

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I.R.E.M. de Toulouse